Reiserischer Titel für einen Beitrag aus der Reihe: Ingenieur trifft Hobbyschrauber oder: Was bringt’s, ein Brettchen als Verstärkung einzubauen? Kurzfassung: Hölzerne Trittstufen zum Heckbett hin verstärkt, wie hier angedeutet. Langfassung? Lese, wer mag – oder lasse es bleiben, wer nicht mag.

Das Gefühl, die Stufe gäbe nach, lässt sich rechnerisch belegen. Was bewirkt eine Verstärkung? Man kann es berechnen. Oder einfach bauen. Ich habe zuerst gebaut (weil’s nötig war), und anschließend gerechnet (weil ich’s kann (und gerade Lust dazu habe)).

Zu betrachten sind: Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit, hier abbildbar durch einen Spannungsnachweis und einen Verformunsnachweis. Dazu benötigen wir:

• Gleichung zur Bestimmung des Widerstandsmoments W rechteckiger Querschnitte, wie es beispielsweise Balken oder Trittstufen sind: W = bh²/6
• Das Widerstandsmoment W benötigt man, um die Spannungen im Querschnitt zu bestimmen.
• Gleichung zur Bestimmung des Flächenträgheitsmoment II. Grades I (großes „i“) rechteckiger Querschnitte, wie es beispielsweise Balken oder Trittstufen sind: I = bh³/12
• Das Flächenträgheitsmoment II. Grades I benötigt man, um die Verformungen im Querschnitt zu bestimmen.

Wir wollen den (unverstärkten) Bestand = VORHER mit der Verstärkung = Aufdoppelung = NACHHER vergleichen. Dabei sind einige Randbedingungen identisch. Vereinfachung ist die wahre Kunst in der Statik und wir verzichten auf exakte Zahlenwerte für die Belastung – auch aus Höflichkeit mir selbst und gentilesse anderen Mit-Trittbrett-Fahrern 😉 gegenüber – und die Werkstoffeigenschaften. Dies ist zulässig und sinnvoll, zumal sich beide beim Vergleich herauskürzen.

Im Bild zu sehen ist die Aufdoppelung der Tritte durch Multiplex-Platten, 8mm stark. Verbaut habe ich zahlreiche Schrauben 3×16, um eine gemeinsame Tragwirkung von Bestand und Ergänzung zu erzeugen. Schubverzahnung, aus reiner Faulheit hier: Ohne weiteren Nachweis.

Konkrete Zahlen:

• Höhe der Trittstufe VORHER h = 12mm
• Dicke der Aufdoppelung, Multiplex: 8mm
• Höhe der Trittstufe NACHHER h = 20mm
• Breite der Trittstufe: b = 1 (ohne Einheit, man denke sich 1mm, oder 1m, für die Gegenüberstellung bedeutungslos)

Ungenauigkeiten: Die Multiplex-Platte ist in der Fläche kleiner als die Trittstufe, insofern beschönigt meine Berechnung die Realität, bzw. liegt auf der unsicheren Seite… ach, ignorieren wir das.

Damit befüllen wir eine tabellarische Übersicht.

Kennwert	VORHER	NACHHER	Faktor
Höhe h	12	20	(1,7)
Widerstandsmoment	12²/6 = 24	20²/6 = 66,7	2,8 ~3
Flächenträgheitsm. II	12³/12 = 144	20³/12 = 667	4,6 ~5

Erkenntnisse in Textform:

• Beim Spannungsnachweis geht die Breite b linear ein, die Höhe h hingegen quadratisch. Eine Verstärkung um 8mm, also von 12mm auf 20mm, bringt beinahe eine Verdreifachung des Widerstandsmoments. In der Umkehrung bedeutet das: Bei konstanter Last reduzieren sich die Spannungen um den Faktor ~3
• Beim Verformungsnachweis geht die Breite b linear ein, die Höhe h hingegen in ihrer dritten Potenz. Eine Verstärkung um 8mm, also von 12mm auf 20mm, bringt beinahe eine Verfünffachung des Flächenträgheitsmoments II. Grades. In der Umkehrung bedeutet das: Bei konstanter Last reduzieren sich die Verformungen um den Faktor ~5

Fleißaufgaben

• Zutreffenden Wert für die Einwirkung (Belastung) festlegen und Biegemoment M ermitteln (Pl/4 für Einzellasten ist der kleine Bruder von good-ol‘ ql²/8 für Streckenlasten)
• Tatsächliche Größe der Spannungen aus M/W ermitteln
• Materialeigenschaften festlegen (Holz, Holzwerkstoff)
• Errechnete Spannungen den zulässigen Werkstoffkennwerten gegenüberstellen
• Tatsächliche Höhe der Verformungen ermitteln (E-Modul)
• Errechnete Verformungen mit üblichen/zulässigen Werten abgleichen

Wer sich traut :-), spreche mich darauf an, dann schieben wir’s flux durch den Taschenrechner durch.

Ziel der Gegenüberstellung war, die „gefühlte“ Verbesserung der Schraub-Aktion mit einer ingenieurmäßigen Einschätzung zu untermauern bzw. zu unterschrauben. Hiermit erfolgt.